شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | قضیه تالس](https://dl2.my-dars.com/upload/image/02 (6)1740230251.jpg)
در مثلث ABC شکل مقابل، اگر پاره خط DE موازی BC رسم شود، آنگاه پاره خط های ایجاد شده روی AB و AC با یکدیگر متناسب اند:
فرض: \(DE\parallel BC\)
حکم: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\) جزء به جزء
مرحله اول: از E به B وصل می کنیم:
\(1)\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}EH \times AD}}{{\frac{1}{2}EH \times DB}} = \frac{{AD}}{{DB}}\)
مرحله دوم: از D به C وصل می کنیم:
\(2)\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DH' \times AE}}{{\frac{1}{2}DH' \times EC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
مرحله سوم: حال باید نشان دهیم \({S_{BDE}} = {S_{CDE}}\)
\(\begin{array}{l}3){S_{BDE}} = \frac{1}{2}DE \times BM\\\\ \Rightarrow {S_{CDE}} = \frac{1}{2}DE \times CN \Rightarrow BM = CN \Rightarrow {S_{BDE}} = {S_{CDE}}\end{array}\)
در نتیجه:
\(\begin{array}{l}1,2,3 \Rightarrow \frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{AD}}{{DB}}\\\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\end{array}\)
جزء به کل از بالا:
\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB + AD}} = \frac{{AE}}{{EC + AE}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\)
\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)
برهان: مطابق شکل زیر، از نقطه E، پاره خط EF را موزی AB رسم می کنیم:
\(\begin{array}{l}DE\parallel BF\\\\DB\parallel EF\\\\ \Rightarrow DEFB \Rightarrow DE = BF\\\\EF\parallel AB \Rightarrow \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\end{array}\)
در مثلث ABC، اگر نقاط M و N روی اضلاع AB و AC طوری انتخاب شوند که تناسب \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) برقرار باشد، آنگاه \(MN\parallel BC\) است.
فرض می کنیم MN موازی BC نیست، پس پاره خطی مانند \(MN'\) موازی BC وجود دارد:
\(MN'\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AN' = AN\)
که این غیر ممکن است؛ پس فرض خلف (نقیض حکم) نادرست بوده و درستی حکم یعنی موازی بودن MN با BC ثابت می شود.
مثال
ثابت کنید پاره خطی که وسط های دو ضلع مثلث را به هم وصل می کند، موازی و نصف ضلع سوم است.
فرض: \(AE = EB,AF = FC\)
حکم: \(EF\parallel BC, EF = \frac{{BC}}{2}\)
آنگاه طبق عکس تالس:
\(\begin{array}{l}\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AF}}{{FC}} = 1 \Rightarrow EF\parallel BC\\\\EF\parallel BC \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\\\\ \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EF = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)
1 در شکل زیر \(DE\parallel BC\) است. با توجه به اندازه ی پاره خط ها طول های DE و AB را به دست آورید.
\(\begin{array}{l}\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}} \Rightarrow \frac{1}{{1/5}} = \frac{2}{{AB}} = \frac{{DE}}{4}\\\\ \Rightarrow DE = \frac{4}{{1/5}} \Rightarrow DE = \frac{8}{3} \Rightarrow AB = 3\end{array}\)
2 ثابت کنید \(A{F^2} = AE \times AC\) . (AF میانگین هندسی AE و AC است.)
\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta F:\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AF}}\\\\A\mathop B\limits^\Delta C:\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AF}}{{AC}} \Rightarrow A{F^2} = AE \times AC\end{array}\)
3 در شکل زیر می دانیم \(AB\parallel A'B'\) و \(BC\parallel B'C'\) است. با استفاده از قضیه تالس و عکس آن ثابت کنید: \(AC\parallel A'C'\)
\(\begin{array}{l}O\mathop {A'}\limits^\Delta B':AB\parallel A'B' \Rightarrow \frac{{OA}}{{AA'}} = \frac{{OB}}{{BB'}}\\\\O\mathop {B'}\limits^\Delta C':BC\parallel B'C' \Rightarrow \frac{{OC}}{{CC'}} = \frac{{OB}}{{BB'}}\\\\ \Rightarrow \frac{{OA}}{{AA'}} = \frac{{OC}}{{CC'}} \Rightarrow O\mathop {A'}\limits^\Delta C':AC\parallel A'C'\end{array}\)
تهیه کننده: سید ابوذر حسینی
1736019749.png)
